一元二次方程及其解法
DL_Lingkong
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2024-09-04 16:35:48
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个人记录
一元二次方程及其解法
前言
不会二次根式的请自行查找学习
今天刚自学一元二次方程，深有感触，于是这玩意就诞生了。
话不多说，进入正题！
定义
一元二次方程是一种最高次数为 2 且只有 1 个未知数的方程，一般形如 ax ^ 2 + bx + c = 0\ (a \ne 0)。
特性
a ^ 2 \ge 0
\sqrt {a ^ 2} = |a|
\sqrt a ^ 2 = a
解法
1. 直接开方
当方程形如 x ^ 2 = a 时，可以直接开方计算，即：
x = \pm \sqrt {a}
比如：
(x + 1) ^ 2 = 9
解：
x + 1 = \sqrt 9
x + 1 = \pm 3
x _ 1 = 2,x _ 2 = -4
优点：快！
缺点：有局限性，必须方程形如 x ^ 2 = a 才能开方
2. 配方法
口诀：首平方，尾平方，乘积 2 倍在中央，即：
p ^ 2 + 2pq + q ^ 2 = (p + q) ^ 2
本质：将原方程变为不显示 1 次项的方程。
解法：
将 ax ^ 2 中的 a 化为 1，其他单项式全部 \div a。
想办法配方。令 2pq = bx,p = x，则 q = \frac {b} {2a},q ^ 2 = \frac {b ^ 2} {4a ^ 2}，将 \frac c a 拆开为 \frac {b ^ 2} {4a ^ 2} + (\frac c a - \frac {b ^ 2} {4a ^ 2})，原方程变为 (\frac {b} {2a} + x) ^ 2 = \frac {b ^ 2} {4a ^ 2} - \frac c a。
开根。\frac {b} {2a} + x = \pm \sqrt {\frac {b ^ 2 - 4ac} {4a ^ 2}}
化简。\frac {b} {2a} + x = \pm \frac {\sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a},x = \frac {-b \pm \sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
将 x 算出即可。
Tips：记一些基本的配方数，如 a = 1,b = 2,c = 1 \Rightarrow (x + 1) ^ 2 = n，a = 1,b = 4,c = 4 \Rightarrow (x + 2) ^ 2 = n，a = 1,b = 6,c = 9 \Rightarrow (x + 3) ^ 2 = n 等，这样就能更快将方程化为 (x + m) ^ 2 = n 的形式。
优点：好理解
缺点：慢，不方便
3. 公式法
本质就是配方法。
但是有一个小优化，因为必须保证 b ^ 2 - 4ac \ge 0 方程才有实数根。
这里用一个希腊字母 \Delta（Delta）表示 b ^ 2 - 4ac，只有它大于等于 0，方程才有实数根，我们称它为判别式。
完整过程：
ax ^ 2 + bx + c = 0
x ^ 2 + \frac b a x + \frac c a= 0
x ^ 2 + \frac b a x + \frac {b ^ 2} {4a ^ 2} = \frac {b ^ 2} {4a ^ 2} - \frac c a
(\frac {b} {2a} + x) ^ 2 = \frac {b ^ 2} {4a ^ 2} - \frac c a
\frac {b} {2a} + x = \pm \sqrt {\frac {b ^ 2 - 4ac} {4a ^ 2}}
\frac {b} {2a} + x = \pm \frac {\sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
可直接从这一步开写：
x = \frac {-b \pm \sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
令 \Delta = b ^ 2 - 4ac。
$$x _ 1 = \frac {-b + \sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a},x _ 2 = \frac {-b - \sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}$$
$\Delta < 0$，方程无实数根。
完结。
优点：方便
缺点：无
### 4. 因式分解法
原理：下图
解题步骤：
1. 将 $a$ 拆成上图的 $r \times s$，两边各给一个 $x$。
2. 将 $c$ 拆成上图的 $p \times q$，分别与 $rx$ 和 $sx$ 相乘得到 $rpx$ 和 $sqx$。
3. 找到满足 $(rp + sq)x = bx$（即 $rp + sq = b$）的一组 $(r,s,p,q)$。
4. 将原方程化为 $(rx + q)(sx + p) = 0$（具体原因见上图）。
5. 因为最后等于 $0$，所以 $rx + q$ 和 $sx + p$ **一定**有一个等于 $0$，所以 $x _ 1 = \frac {-q} r,x _ 2 = \frac {-p} {s}$。
Tips. 将上图的 $r$ 放在左上角，$q$ 放在右上角，$s$ 放在左下角，$p$ 放在右下角，即可得到一个矩阵：
$$\begin{matrix}
r & q\\
s & p
\end{matrix}$$
将矩阵的两组对角相乘，得到 $rp + sq$。
这时我们就只要他们的和等于 $b$ 就行了。
这就是大名鼎鼎的——十字相乘法！
完结。
优点：快
缺点：有些时候无法因式分解时只能用公式法。
## 亿些疑惑
有了公式法和因式分解法，还用不用配方法呢？
有时候也要用。比如 $x ^ 2 + 2x + 288 = 0$ 这样大的数据公式法和因式分解法都不太方便，用配方法更快。
感谢神犇 [JHR100330](https://www.luogu.com.cn/user/857215) 的批评与指正